Примеры решений произвольных тройных интегралов. Физические приложения тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат Тройной интеграл в цилиндрических координатах онлайн
Пусть имеем две
прямоугольные системы координат в
пространстве
и
,
и систему функций
(1)
которые устанавливают
взаимно-однозначное соответствие между
точками некоторых областей
и
в этих системах координат. Предположим,
что функции системы (1) имеют в
непрерывные частные производные.
Определитель, составленный из этих
частных производных
,
называют якобианом
(или определителем Якоби) системы функций
(1). Мы будем предполагать, что
в
.
В сделанных выше предположениях имеет место следующая общая формула замены переменных в тройном интеграле:
Как и в случае
двойного интеграла, взаимная однозначность
системы (1) и условие
могут нарушаться в отдельных точках,
на отдельных линиях и на отдельных
поверхностях.
Система функций
(1) каждой точке
ставит в соответствие единственную
точку
.
Эти три числа
называют криволинейными координатами
точки.
Точки пространства
,
для которых одна из этих координат
сохраняет постоянное значение, образуют
т.н. координатную поверхность.
II Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Цилиндрическая
система координат (ЦСК) определяется
плоскостью
,
в которой задана полярная система
координат и осью
,
перпендикулярной этой плоскости.
Цилиндрическими координатами точки
,
где
– полярные координаты точки– проекции точкина плоскость
,
а– это координаты проекции точкина ось
или
.
В плоскости
введем обычным образом декартовы
координаты, ось аппликат направим по
оси
ЦСК. Теперь нетрудно получить формулы,
связывающие цилиндрические координаты
с декартовыми:
(3)
Эти формулы
отображают областьна все пространство
.
Координатными поверхностями в рассматриваемом случае будут:
1)
– цилиндрические поверхности с
образующими, парал-лельными оси
,
направляющими которых служат окружности
в плоскости
,
с центром в точке;
2)
;
3)
– плоскости, параллельные плоскости
.
Якобиан системы (3):
.
Общая формула в случае ЦСК принимает вид:
Замечание 1
.
Переход к
цилиндрическим координатам рекомендуется
в случае, когда область интегрирования
– это круговые цилиндр или конус, или
параболоид вращения (или их части),
причем ось этого тела совпадает с осью
аппликат
.
Замечание 2. Цилиндрические координаты можно обобщить так же, как и полярные координаты на плоскости.
Пример 1. Вычислить тройной интеграл от функции
по области
,
представляющей собой внутреннюю часть
цилиндра
,
ограниченную конусом
и параболоидом
.
Решение. Эту область мы уже рассматривали в §2, пример 6, и получили стандартную запись в ДПСК. Однако, вычисление интеграла в этой области затруднительно. Перейдем в ЦСК:
.
Проекция
тела
на плоскость
– это круг
.
Следовательно, координатаизменяется от 0 до
,
а– от0
до R
.
Через
произвольную точку
проведем прямую, параллельную оси
.
Прямая войдет в
на конусе, а выйдет на параболоиде. Но
конус
имеет в ЦСК уравнение
,
а параболоид
– уравнение
.
Итак, имеем
III Тройной интеграл в сферических координатах
Сферическая система
координат (ССК) определяется плоскостью
,
в которой задана ПСК, и осью
,
перпендикулярной плоскости
.
Сферическими
координатами точки
пространства называют тройку чисел
,
где– полярный угол проекции точки на
плоскость
,– угол между осью
и вектором
и
.
В плоскости
введем декартовы координатные оси
и
обычным образом, а ось аппликат совместим
с осью
.
Формулы, связывающие сферические
координаты с декартовыми таковы:
(4)
Эти формулы
отображают область
на всё пространство
.
Якобиан системы функций (4):
.
Координатные поверхности составляют три семейства:
1)
– концентрические сферы с центром в
начале координат;
2)
– полуплоскости, проходящие через ось
;
3)
– круговые конусы с вершиной в начале
координат, осью которых служит ось
.
Формула перехода в ССК в тройном интеграле:
Замечание 3.
Переход в ССК рекомендуется, когда
область интегрирования – это шар или
его часть. При этом уравнение сферы
переходит в.
Как и ЦСК, рассмотренная ранее, ССК
«привязана» к оси
.
Если центр сферы смещён на радиус вдоль
координатной оси, то наиболее простое
сферическое уравнение получим при
смещении вдоль оси
:
Замечание 4. Возможно обобщение ССК:
с якобианом
.
Эта система функций переведет эллипсоид
в «параллелепипед»
Пример 2. Найти среднее расстояние точек шара радиуса от его центра.
Решение.
Напомним, что среднее значение функции
в области
– это тройной интеграл от функции по
области деленный на объём области. В
нашем случае
Итак, имеем
Пусть дано материальное тело, представляющее собой пространственную область П, заполненную массой. Требуется найти массу m этого тела при условии, что в каждой точке Р € П известна плотность распределения масс. Разобьем область П на неперекрывающиеся кубируемые (т. е. имеющие объем) части с объемами соответственно. В каждой из частичных областей ft* выберем произвольнуюточкуР*. Примем приближенно, что в пределах частичной области ft* плотность постоянна и равна /*(Р*). Тогда масса Атк этой части тела выразится приближенным равенством Атпк а масса всего тела будет приближенно равна Тройной интеграл Свойства тройных интегралов Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах Пусть d - наибольший из диаметров частичных областей Если при d -* 0 сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения области ft на частичные подобласти, ни от выбора точек Р* € ft*, то этот предел принимается за массу m заданного тела, Пусть в замкнутой кубируемой области ft определена ограниченная функция Разобьем ft на п непересекающихся кубируемых частей а их объемы обозначим через соответственно. В каждой частичной подобласти П* произвольным образом выбираем точку Рк(хк, ук, zk) и составляем интегральную сумму Пусть d - наибольший из диаметров частичных областей Определение. Если при d О интегральные суммы а имеют предел, не зависящий ни от способа разбиения области Л на частичные подобласти П*, ни от выбора точек Рк € П*, то этот предел называется тройнич интегралам от функции f(x} у, z) по области Q и обозначается символом Теорема 6. Если функция f(x, у, z) непрерывна в замкнутой кубируемой области П, то она интегрируема в этой области. Свойства тройных интегралов Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралоа Перечислим основные из них. Пусть функции интегрируемы в кубируемой области Л. 1. Линейность. При этом функция называется интегрируемой в области Q. Таким образом, по определению имеем Возвращаясь к задаче о вычислении массы тела, замечаем, что предел (2) есть тройной интеграл огт фуншни р(Р) по области П. Значит, Здесь dx dy dz - элемент объема dv в прямоугольных координатах. где а и (3 - произвольные вещественные постоянные. всюду в области П,то 3. Если /(Р) = 1 в области П, то п где V - объем области Q. Если функция /(Р) непрерывна в замкнутой кубируемой области ft и М и т - ее наибольшее и наименьшее значения в ft, то где V - объем области ft. 5. Аддитивность. Если область ft разбита на кубируемые области без общих внутренних точек и f{P) интегрируема в области ft, то f(P) интегрируема на каждой из областей ft| и ft2, причем 6. Теорема о среднем значении. Теореме 7 (о среднем значении). Если функция f(P) непрерывна в замкнутой кубируемой области ft, то найдется тонка Рс € ft, такая, что будет справедлива формула где V - объем области ft (напомним, что область - связное множество). § 7. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Как и при вычислении двойных интегралов, дело сводится к вычислению повторных интегралов. Предположим, что функция непрерывна в некоторой области ft. 1-й случай. Область ft представляет собой прямоугольный параллелепипед проектирующийся на плоскость yOz в прямоугольник i2; Тогда получим Заменяя двойной интеграл через повторный, окончательно получим Таким образом, в случае, когда область П - прямоугольный параллелепипед, мы свели вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению трех обыкновенных интегралов. Формулу (2) можно переписать в виде где прямоугольник есть ортогональная проекция параллелепипеда П на плоскость хОу. 2-й случай. Рассмотрим теперь область Q такую, что ограничивающая ее поверхность 5 пересекается любой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис.22). Пусть z = tpi(x,y) уравнение поверхности 5, ограничивающей область П снизу, а поверхность S2, ограничивающая область П сверху, имеет уравнение z = у). Пусть обе поверхности S\ и S2 проектируются на одну и ту же область плоскости хОу. Обозначим ее через D, а ограничивающую ее кривую через L. Остальная часть границы 5 тела Q лежит на цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, и с кривой L в роли направляющей. Тогда по аналогии с формулой (3) получим Если область D плоскости хОу представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми, то двойной интеграл в формуле (4) можно свести к повторному, и мы получим окончательно Эта формула является обобщением формулы (2). Рис-23 Пример. Вычислить объем тетраэдра, ограниченного плоскостями Проекцией тетраэдра на плоскость хОу служит треугольник, образованный прямыми так что х изменяется от 0 до 6, а при фиксированном х (0 ^ х ^ 6) у изменяется от 0 до 3 - | (рис. 23). Если же фиксированы и х, и у, то точка может перемещаться по вертикали от плоскости до плоскости меняется в пределах от 0 до 6 - х - 2у. По формуле получаем §8. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах Вопрос о замене переменных в тройном интеграле решается таким же путем, как и в случае двойного интеграла. Пусть функция /(ж, у, z) непрерывна в замкнутой кубируемой области ft, а функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой кубируемой области ft*. Предположим, что функции (1) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между всеми точками rj, {) области ft*, с одной стороны, и всеми точками (ж, у, z) области ft - с другой. Тогда справедлива формула замены переменных в тройном интеграле - где - якобиан системы функций (1). На практике при вычислении тройных интеграловчасто пользуются заменой прямоугольных координат цилиндрическими и сферическими координатами. 8.1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах В цилиндрической системе координат положение точки Р в пространстве определяется тремя числами р, где р и (р - полярные координаты проекции Р1 точки Р на плоскость хОу, a z - аппликата точки Р (рис.24). Числа называются цилиндрическими координатами точии Р. Ясно, что В системе цилиндрических координат координатные поверхности Тройной интеграл Свойства тройных интегралов Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах соответственно описывают: круговой цилиндр, ось которого совпадает с осью Oz, полуплоскость, примыкающую к оси Oz, и плоскость, параллельную плоскости хОу. Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими формулами (см. рис. 24). Для системы (3), отображающей область ft на область имеем и формула (2) перехода от тройного интеграла в прямоугольных координатах к интегралу в цилиндрических координатах принимает вид (4) Выражение называется элементом объема в цилиндрических координатах. Это выражение для элемента объема может быть получено и из геометрических соображений. Разобьем область П на элементарные подобласти координатными поверхностями и вычислим объемы полученных криволинейных призм (рис. 25). Видно, что Отбрасывая бесконечно малую величину более высокого порядка, получаем Это позволяет принять за элемент объема в цилиндрических координатах следующую величину Пример 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 4 В цилиндрических координатах заданные поверхности будут иметь уравнения (см. формулы (3)). Эти поверхности пересекаются по линии г, которая описывается системой уравнений (цилиндр), (плоскость), рис 26 а ее проекция на плоскость хОу системой Таким образом, Искомый объем вычисляется по формуле (4), в которой. Тройной интеграл в сферических координатах В сферической системе координат положение точки Р(х, у, z) в пространстве определяется тремя числами, где г - расстояние от начала координат до точки угол между осью Ох и проекцией радиуса-вектора ОР точки Р на плоскость хОу, а в - угол между осью Oz и радиусом-вектором ОР точки Р, отсчитываемый от оси Oz (рис. 27). Ясно, что. Координатные поверхности в этой системе координат: г = const - сферы с центром в начале координат; ip = constполуплоскости, исходящие из оси Oz; в = const - круговые конусы с осью Oz. Рис. 27 Из рисунка видно, что сферические и декартовы координаты связаны следующими соотношениями Вычислим якобиан функций (5). Имеем Следовательно, и формула (2) принимает вид Элемент объема в сферических координатах - Выражение для элемента объема можно получить и из геометрических соображений. Рассмотрим элементарную область в пространстве, ограниченную сферами радиусов г и г + dr, конусами в и в + d$ и полуплоскостями Приближенно эту область можно считать прямоугольным параллелепипедом с измерениями. Тогда Тройной интеграл Свойства тройных интегралов Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах Пример 2. Найти объем выпуклого тела Q, вырезаемого из конуса концентрическими сферами -4 Переходим к сферической системе координат Из первых двух уравнений видно, что. Из третьего уравнения находим пределы изменен угла 9: откуда
Процедура вычисления тройного интеграла аналогична соответствующей операции для двойного интеграла. Для ее описания введем понятие правильной трехмерной области:
Определение 9.1. Трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, называется правильной, если:
- любая прямая, параллельная оси Оz и проведенная через внутреннюю точку области, пересекает S в двух точках;
- вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную двумерную область D;
- любая часть области V, отсеченная от нее плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, обладает свойствами 1) и 2).
Рассмотрим правильную область V, ограниченную снизу и сверху поверхностями z=χ(x,y) и z=ψ(x,y) и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D, внутри которой х изменяется в пределах от а до b, ограниченную кривыми y=φ1(x) и y=φ2(x) (рис.1). Зададим в области V непрерывную функцию f(x, y, z).
Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:
Трехкратный интеграл обладает теми же свойствами, что и двукратный. Перечислим их без доказательства, так как они доказываются аналогично случаю двукратного интеграла.
Вычисление тройного интеграла.
Теорема 9.1. Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области:
. (9.3)
Доказательство.
Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на п правильных областей . Тогда из свойства 1 следует, что
где – трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области .
Используя формулу (9.2), предыдущее равенство можно переписать в виде:
Из условия непрерывности функции f(x,y,z) следует, что предел интегральной суммы, стоящей в правой части этого равенства, существует и равен тройному интегралу . Тогда, переходя к пределу при , получим:
что и требовалось доказать.
Замечание.
Аналогично случаю двойного интеграла можно доказать, что изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного интеграла.
Пример. Вычислим интеграл где V - треугольная пирамида с вершинами в точках (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Ее проекцией на плоскость Оху является треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Снизу область ограничена плоскостью z = 0, а сверху - плоскостью x + y + z = 1. Перейдем к трехкратному интегралу:
Множители, не зависящие от переменной интегриро-вания, можно вынести за знак соответствующего интеграла:
Криволинейные системы координат в трехмерном пространстве.
- Цилиндрическая система координат.
Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) - это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.2).
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:
x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)
- Сферическая система координат.
В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой ρ - расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ - полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ - углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.3). При этом
Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)
Якобиан и его геометрический смысл.
Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости Оху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что х и у являются однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями новых переменных u и v:
x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)
Рассмотрим прямоугольную систему координат Оuv, точка Р΄(u, v) которой соответствует точке Р(х, у) из области D. Все такие точки образуют в плоскости Оuv область D΄, ограниченную линией L΄. Можно сказать, что формулы (9.6) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D΄. При этом линиям u = const и
v = const в плоскости Оuv будут соответствовать некоторые линии в плоскости Оху.
Рассмотрим в плоскости Оuv прямоугольную площадку ΔS΄, ограниченную прямыми u = const, u+Δu = const, v = const и v+Δv = const. Ей будет соответствовать криволинейная площадка ΔS в плоскости Оху (рис.4). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать ΔS΄ и ΔS. При этом ΔS΄ = Δu Δv. Найдем площадь ΔS. Обозначим вершины этого криволинейного четырехугольника Р1, Р2, Р3, Р4, где
P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);
P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);
P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);
P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).
Заменим малые приращения Δu и Δv соответствующими дифференциалами. Тогда
При этом четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4 можно считать параллелограммом и определить его площадь по формуле из аналитической геометрии:
(9.7)
Определение 9.3. Определитель называется функциональным определителем или якобианом функций φ(х, у) и ψ(х, у).
Переходя к пределу при в равенстве (9.7), получим геометрический смысл якобиана:
то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок ΔS и ΔS΄.
Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие якобиана и его геометрический смысл для п-мерного пространства: если x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un),…, xn = φ(u1, u2,…, un), то
(9.8)
При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых областей пространств х1, х2,…, хп и u1, u2,…, un .
Замена переменных в кратных интегралах.
Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла.
Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции z = F(u, v) в области D΄, где
F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)
Рассмотрим интегральную сумму
где интегральная сумма справа берется по области D΄. Переходя к пределу при , получим формулу преобразования координат в двойном интеграле.
Скачать с Depositfiles
Тройной интеграл.
Контрольные вопросы.
Тройной интеграл, его свойства.
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
Пусть функция u = f (x,y ,z ) определена в ограниченной замкнутой области V пространства R 3 . Разобьём область V произвольным образом наn элементарных замкнутых областей V 1 , … , V n , имеющих объемы V 1 , …, V n соответственно. Обозначим d – наибольший из диаметров областей V 1 , … , V n . В каждой области V k выберем произвольную точку P k (x k , y k , z k )и составим интегральную сумму функции f (x , y , z )
S =
Определение.
Тройным интегралом
от функции f
(x
, y
, z
) по области V
называется предел интегральной суммы
,
если он существует.
Таким образом,
(1)
Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области V и выбора точек P k (k =1, …, n ). Однако, если существует предел, то он не зависит от способа разбиения области V и выбора точек P k . Если сравнить определения двойного и тройного интегралов, то легко увидеть в них полную аналогию.
Достаточное условие существования тройного интеграла. Тройной интеграл (13) существует, если функция f (x , y , z ) ограничена в V и непрерывна в V , за исключением конечного числа кусочно-гладких поверхностей, расположенных в V .
Некоторые свойства тройного интеграла.
1) Если С – числовая константа, то
3) Аддитивностьпо области. Если область V разбита на области V 1 и V 2 , то
4) Объем тела V равен
(2
)
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть D проекция тела V на плоскость xOy , поверхности z =φ 1 (x , y ), z =φ 2 (x , y ) ограничивают тело V снизу и сверху соответственно. Это значит, что
V = {(x , y , z ): (x , y )D , φ 1 (x , y ) ≤ z ≤ φ 2 (x , y )}.
Такое тело назовем z -цилиндрическим. Тройной интеграл (1) по z -цилиндрическому телу V вычисляется переходом к повторному интегралу, состоящему из двойного и определенного интегралов:
(3
)
В этом повторном интеграле сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z , при этом x , y считаются постоянными. Затем вычисляется двойной интеграл от полученной функции по области D .
Если V x- цилиндрическое или y- цилиндрическое тело, то верны соответственно формулы
В первой формуле D проекция тела V на координатную плоскость yOz , а во второй на плоскость xOz
Примеры. 1) Вычислитьобъем тела V , ограниченного поверхностями z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .
Решение. Вычислим объём при помощи тройного интеграла по формуле (2)
Перейдем к повторному интегралу по формуле (3).
Пусть D круг x 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 + y 2 . Тогда по формуле (3) получим
Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг D преобразуется во множество
D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .
2) Тело V
ограничено поверхностямиz=y
,
z= –y
,
x=
0
,
x=
2,
y=
1.
Вычислить
Плоскости z = y , z = –y ограничиваюттелосоответственно снизу и сверху, плоскости x= 0 , x= 2 ограничивают тело соответственно сзади и спереди, а плоскость y= 1 ограничиваетсправа. V – z- цилиндрическое тело, его проекцией D на плоскость хОу является прямоугольник ОАВС . Положим φ 1 (x , y ) = –y
Тройные интегралы. Вычисление объема тела.
Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Три дня в деканате покойник лежал, в штаны Пифагора одетый,
В руках Фихтенгольца он томик держал, что сжил его с белого света,
К ногам привязали тройной интеграл, и в матрицу труп обернули,
А вместо молитвы какой-то нахал прочёл теорему Бернулли.
Тройные интегралы – это то, чего уже можно не бояться =) Ибо если Вы читаете сей текст, то, скорее всего, неплохо разобрались с теорией и практикой «обычных» интегралов , а также двойными интегралами . А там, где двойной, неподалёку и тройной:
И в самом деле, чего тут опасаться? Интегралом меньше, интегралом больше….
Разбираемся в записи:
– значок тройного интеграла;
– подынтегральная функция трёх переменных
;
– произведение дифференциалов.
– область интегрирования.
Особо остановимся на области интегрирования . Если в двойном интеграле она представляет собой плоскую фигуру , то здесь – пространственное тело , которое, как известно, ограничено множеством поверхностей . Таким образом, помимо вышеуказанного вы должны ориентироваться в основных поверхностях пространства и уметь выполнять простейшие трёхмерные чертежи.
Некоторые приуныли, понимаю…. Увы, статью нельзя озаглавить «тройные интегралы для чайников», и кое-что знать/уметь нужно. Но ничего страшного – весь материал изложен в предельно доступной форме и осваивается в кратчайшие сроки!
Что значит вычислить тройной интеграл и что это вообще такое?
Вычислить тройной интеграл – это значит найти ЧИСЛО
:
В простейшем случае, когда , тройной интеграл численно равен объёму тела . И действительно, в соответствии с общим смыслом интегрирования , произведение равно бесконечно малому объёму элементарного «кирпичика» тела. А тройной интеграл как раз и объединяет все эти бесконечно малые частички по области , в результате чего получается интегральное (суммарное) значение объёма тела: .
Кроме того, у тройного интеграла есть важные физические приложения . Но об этом позже – во 2-й части урока, посвящённой вычислениям произвольных тройных интегралов , у которых функция в общем случае отлична от константы и непрерывна в области . В данной же статье детально рассмотрим задачу нахождения объёма, которая по моей субъективной оценке встречается в 6-7 раз чаще.
Как решить тройной интеграл?
Ответ логично вытекает из предыдущего пункта. Необходимо определить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам . После чего последовательно расправиться с тремя одиночными интегралами.
Как видите, вся кухня очень и очень напоминает двойные интегралы , с тем отличием, что сейчас у нас добавилась дополнительная размерность (грубо говоря, высота). И, наверное, многие из вас уже догадались, как решаются тройные интегралы.
Развеем оставшиеся сомнения:
Пример 1
Пожалуйста, перепишите столбиком на бумагу:
И ответьте на следующие вопросы. Знаете ли Вы, какие поверхности задают эти уравнения? Понятен ли Вам неформальный смысл этих уравнений? Представляете ли Вы, как данные поверхности расположены в пространстве?
Если Вы склоняетесь к общему ответу «скорее нет, чем да», то обязательно проработайте урок , иначе дальше будет не продвинуться!
Решение : используем формулу .
Для того чтобы выяснить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам нужно (всё гениальное просто) понять, что это за тело. И такому пониманию во многих случаях здОрово способствуют чертёжи.
По условию тело ограничено несколькими поверхностями. С чего начать построение? Предлагаю следующий порядок действий:
Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость . Первый раз сказал, как эта проекция называется, lol =)
Коль скоро проецирование проводится вдоль оси , то в первую очередь целесообразно разобраться с поверхностями , которые параллельны данной оси. Напоминаю, что уравнения таких поверхностей не содержат буквы «зет» . В рассматриваемой задаче их три:
– уравнение задаёт координатную плоскость , которая проходит через ось ;
– уравнение задаёт координатную плоскость , которая проходит через ось ;
– уравнение задаёт плоскость
«плоскую» прямую
параллельно оси .
Скорее всего, искомая проекция представляет собой следующий треугольник:
Возможно, не все до конца поняли, о чём речь. Представьте, что из экрана монитора выходит ось и утыкается прямо в вашу переносицу (т.е. получается, что вы смотрите на 3-мерный чертёж сверху)
. Исследуемое пространственное тело находится в бесконечном трёхгранном «коридоре» и его проекция на плоскость вероятнее всего представляет собой заштрихованный треугольник.
Обращаю особое внимание, что пока мы высказали лишь предположение о проекции и оговорки «скорее всего», «вероятнее всего» были не случайны. Дело в том, что проанализированы ещё не все поверхности и может статься так, что какая-нибудь из них «оттяпает» часть треугольника. В качестве наглядного примера напрашивается сфера с центром в начале координат радиусом мЕньшим единицы, например, сфера – её проекция на плоскость (круг ) не полностью «накроет» заштрихованную область, и итоговая проекция тела будет вовсе не треугольником (круг «срежет» ему острые углы) .
На втором этапе выясняем, чем тело ограничено сверху, чем снизу и выполняем пространственный чертёж. Возвращаемся к условию задачи и смотрим, какие поверхности остались. Уравнение задаёт саму координатную плоскость , а уравнение – параболический цилиндр , расположенный над плоскостью и проходящий через ось . Таким образом, проекция тела действительно представляет собой треугольник.
Кстати, здесь обнаружилась избыточность условия – в него было не обязательно включать уравнение плоскости , поскольку поверхность , касаясь оси абсцисс, и так замыкает тело. Интересно отметить, что в этом случае мы бы не сразу смогли начертить проекцию – треугольник «прорисовался» бы только после анализа уравнения .
Аккуратно изобразим фрагмент параболического цилиндра:
После выполнения чертежей с порядком обхода тела
никаких проблем!
Сначала определим порядок обхода проекции
(при этом ГОРАЗДО УДОБНЕЕ ориентироваться по двумерному чертежу).
Это делается АБСОЛЮТНО ТАК ЖЕ
, как и в двойных интегралах
! Вспоминаем лазерную указку и сканирование плоской области. Выберем «традиционный» 1-й способ обхода:
Далее берём в руки волшебный фонарик, смотрим на трёхмерный чертёж и строго снизу вверх
просвечиваем пациента. Лучи входят в тело через плоскость и выходят из него через поверхность . Таким образом, порядок обхода тела:
Перейдём к повторным интегралам:
1) Начать следует с «зетового» интеграла. Используем формулу Ньютона-Лейбница
:
Подставим результат в «игрековый» интеграл:
Что получилось? По существу решение свелось к двойному интегралу, и именно – к формуле объёма цилиндрического бруса ! Дальнейшее хорошо знакомо:
2)
Обратите внимание на рациональную технику решения 3-го интеграла.
Ответ :
Вычисления всегда можно записать и «одной строкой»:
Но с этим способом будьте осторожнее – выигрыш в скорости чреват потерей качества, и чем труднее пример, тем больше шансов допустить ошибку.
Ответим на важный вопрос:
Нужно ли делать чертёжи, если условие задачи не требует их выполнения?
Можно пойти четырьмя путями:
1) Изобразить проекцию и само тело. Это самый выигрышный вариант – если есть возможность выполнить два приличных чертежа, не ленитесь, делайте оба чертежа. Рекомендую в первую очередь.
2) Изобразить только тело. Годится, когда у тела несложная и очевидная проекция. Так, например, в разобранном примере хватило бы и трёхмерного чертежа. Однако тут есть и минус – по 3D-картинке неудобно определять порядок обхода проекции, и этот способ я бы советовал только людям с хорошим уровнем подготовки.
3) Изобразить только проекцию. Тоже неплохо, но тогда обязательны дополнительные письменные комментарии, чем ограничена область с различных сторон. К сожалению, третий вариант зачастую бывает вынужденным – когда тело слишком велико либо его построение сопряжено с иными трудностями. И такие примеры мы тоже рассмотрим.
4) Обойтись вообще без чертежей. В этом случае нужно представлять тело мысленно и закомментировать его форму/расположение письменно. Подходит для совсем простых тел либо задач, где выполнение обоих чертежей затруднительно. Но всё же лучше сделать хотя бы схематический рисунок, поскольку «голое» решение могут и забраковать.
Следующее тело для самостоятельного дела:
Пример 2
С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
В данном случае область интегрирования задана преимущественно неравенствами, и это даже лучше – множество неравенств задаёт 1-й октант, включая координатные плоскости, а неравенство – полупространство , содержащее начало координат (проверьте) + саму плоскость. «Вертикальная» плоскость рассекает параболоид по параболе и на чертеже желательно построить данное сечение. Для этого нужно найти дополнительную опорную точку, проще всего – вершину параболы (рассматриваем значения и рассчитываем соответствующее «зет») .
Продолжаем разминаться:
Пример 3
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Выполнить чертёж.
Решение : формулировка «выполнить чертёж» даёт нам некоторую свободу, но, скорее всего, подразумевает выполнение пространственного чертежа. Однако и проекция тоже не помешает, тем более, она здесь не самая простая.
Придерживаемся отработанной ранее тактики – сначала разберёмся с поверхностями , которые параллельны оси аппликат. Уравнения таких поверхностей не содержат в явном виде переменную «зет»:
– уравнение задаёт координатную плоскость , проходящую через ось (которая на плоскости определяется «одноимённым» уравнением )
;
– уравнение задаёт плоскость
, проходящую через «одноимённую» «плоскую» прямую
параллельно оси .
Искомое тело ограниченно плоскостью снизу и параболическим цилиндром
сверху:
Составим порядок обхода тела, при этом «иксовые» и «игрековые» пределы интегрирования, напоминаю, удобнее выяснять по двумерному чертежу:
Таким образом:
1)
При интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому константу целесообразно сразу вынести за знак интеграла.
3)
Ответ :
Да, чуть не забыл, в большинстве случаев полученный результат малополезно (и даже вредно) сверять с трёхмерным чертежом, поскольку с большой вероятностью возникнет иллюзия объёма , о которой я рассказал ещё на уроке Объем тела вращения . Так, оценивая тело рассмотренной задачи, лично мне показалось, что в нём гораздо больше 4 «кубиков».
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 4
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость .
Примерный образец оформления задачи в конце урока.
Не редкость, когда выполнение трёхмерного чертежа затруднено:
Пример 5
С помощью тройного интеграла найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
Решение
: проекция здесь несложная, но вот над порядком её обхода нужно подумать. Если выбрать 1-й способ, то фигуру придётся разделить на 2 части, что неиллюзорно грозит вычислением суммы двух
тройных интегралов. В этой связи гораздо перспективнее выглядит 2-й путь. Выразим и изобразим проекцию данного тела на чертеже:
Прошу прощения за качество некоторых картинок, я их вырезаю прямо из собственных рукописей.
Выбираем более выгодный порядок обхода фигуры:
Теперь дело за телом. Снизу оно ограничено плоскостью , сверху – плоскостью , которая проходит через ось ординат. И всё бы было ничего, но последняя плоскость слишком крутА и построить область не так-то просто. Выбор тут незавиден: либо ювелирная работа в мелком масштабе (т.к. тело достаточно тонкое), либо чертёж высотой порядка 20 сантиметров (да и то, если вместится).
Но есть и третий, исконно русский метод решения проблемы – забить =) А вместо трёхмерного чертежа обойтись словесным описанием: «Данное тело ограничено цилиндрами и плоскостью сбоку, плоскостью – снизу и плоскостью – сверху».
«Вертикальные» пределы интегрирования, очевидно, таковы:
Вычислим объём тела, не забывая, что проекцию мы обошли менее распространённым способом:
1)
Ответ :
Как вы заметили, предлагаемые в задачах тела не дороже сотни баксов часто ограничены плоскостью снизу. Но это не есть какое-то правило, поэтому всегда нужно быть начеку – может попасться задание, где тело расположено и под плоскостью . Так, например, если в разобранной задаче вместо рассмотреть плоскость , то исследованное тело симметрично отобразится в нижнее полупространство и будет ограничено плоскостью снизу, а плоскостью – уже сверху!
Легко убедиться, что получится тот же самый результат:
(помним, что тело нужно обходить строго снизу вверх!
)
Кроме того, «любимая» плоскость может оказаться вообще не при делах, простейший пример: шар, расположенный выше плоскости – при вычислении его объёма уравнение не понадобится вообще.
Все эти случаи мы рассмотрим, а пока аналогичное задание для самостоятельного решения:
Пример 6
С помощью тройного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями
Краткое решение и ответ в конце урока.
Переходим ко второму параграфу с не менее популярными материалами:
Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Цилиндрические координаты – это, по сути, полярные координаты
в пространстве.
В цилиндрической системе координат положение точки пространства определяется полярными координатами и точки – проекции точки на плоскость и аппликатой самой точки .
Переход от трёхмерной декартовой системы к цилиндрической системе координат осуществляется по следующим формулам:
Применительно к нашей теме преобразование выглядит следующим образом:
И, соответственно, в упрощённом случае, который мы рассматриваем в этой статье:
Главное, не забывать про дополнительный множитель «эр» и правильно расставлять полярные пределы интегрирования при обходе проекции:
Пример 7
Решение : придерживаемся того же порядка действий: в первую очередь рассматриваем уравнения, в которых отсутствует переменная «зет». Оно здесь одно. Проекция цилиндрической поверхности на плоскость представляет собой «одноимённую» окружность .
Плоскости ограничивают искомое тело снизу и сверху («высекают» его из цилиндра) и проецируются в круг :
На очереди трёхмерный чертёж. Основная трудность состоит в построении плоскости , которая пересекает цилиндр под «косым» углом, в результате чего получается эллипс
. Уточним данное сечение аналитически: для этого перепишем уравнение плоскости в функциональном виде и вычислим значения функции («высоту») в напрашивающихся точках , которые лежат на границе проекции:
Отмечаем найдённые точки на чертеже и аккуратно (а не так, как я =))
соединяем их линией:
Проекция тела на плоскость представляет собой круг, и это весомый аргумент в пользу перехода к цилиндрической системе координат:
Найдём уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:
Теперь следует выяснить порядок обхода тела.
Сначала разберёмся с проекцией. Как определить её порядок обхода? ТОЧНО ТАК ЖЕ, как и при вычислении двойных интегралов в полярных координатах
. Здесь он элементарен:
«Вертикальные» пределы интегрирования тоже очевидны – входим в тело через плоскость и выходим из него через плоскость :
Перейдём к повторным интегралам:
При этом множитель «эр» сразу ставим в «свой» интеграл.
Веник как обычно легче сломать по прутикам:
1)
Сносим результат в следующий интеграл:
А тут не забываем, что «фи» считается константой. Но это до поры до времени:
Ответ :
Похожее задание для самостоятельного решения:
Пример 8
Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями . Выполнить чертёжи данного тела и его проекции на плоскость .
Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Обратите внимание, что в условиях задач ни слова не сказано о переходе к цилиндрической системе координат, и несведущий человек будет бодаться с трудными интегралами в декартовых координатах. …А может и не будет – ведь есть третий, исконно русский способ решения проблем =)
Всё только начинается! …в хорошем смысле: =)
Пример 9
С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями
Скромно и со вкусом.
Решение : данное тело ограничено конической поверхностью и эллиптическим параболоидом . Читатели, которые внимательно ознакомились с материалами статьи Основные поверхности пространства , уже представили, как выглядит тело, но на практике часто встречаются более сложные случаи, поэтому я проведу подробное аналитическое рассуждение.
Сначала найдём линии, по которым пересекаются поверхности. Составим и решим следующую систему:
Из 1-го уравнения почленно вычтем второе:
В результате получено два корня:
Подставим найденное значение в любое уравнение системы:
, откуда следует, что
Таким образом, корню соответствует единственная точка – начало координат. Естественно – ведь вершины рассматриваемых поверхностей совпадают.
Теперь подставим второй корень – тоже в любое уравнение системы:
Каков геометрический смысл полученного результата? «На высоте» (в плоскости ) параболоид и конус пересекаются по окружности
– единичного радиуса с центром в точке .
При этом «чаша» параболоида вмещает в себя «воронку» конуса, поэтому образующие
конической поверхности следует прочертить пунктиром (за исключением отрезка дальней от нас образующей, который виден с данного ракурса):
Проекцией тела на плоскость является круг
с центром в начале координат радиуса 1, который я даже не удосужился изобразить ввиду очевидности данного факта (однако письменный комментарий делаем!)
. Кстати, в двух предыдущих задачах на чертёж проекции тоже можно было бы забить, если бы не условие.
При переходе к цилиндрическим координатам по стандартным формулам неравенство запишется в простейшем виде и с порядком обхода проекции никаких проблем:
Найдём уравнения поверхностей в цилиндрической системе координат:
Так как в задаче рассматривается верхняя часть конуса, то из уравнения выражаем:
«Сканируем тело» снизу вверх. Лучи света входят в него через эллиптический параболоид и выходят через коническую поверхность . Таким образом, «вертикальный» порядок обхода тела:
Остальное дело техники:
Ответ :
Не редкость, когда тело задаётся не ограничивающими его поверхностями, а множеством неравенств:
Пример 10
Геометрический смысл пространственных неравенств я достаточно подробно разъяснил в той же справочной статье – Основные поверхности пространства и их построение .
Данная задача хоть и содержит параметр, но допускает выполнение точного чертежа, отражающего принципиальный вид тела. Подумайте, как выполнить построение. Краткое решение и ответ – в конце урока.
…ну что, ещё парочку заданий? Думал закончить урок, но прямо так и чувствую, что вы хотите ещё =)
Пример 11
С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела:
, где – произвольное положительное число.
Решение : неравенство задаёт шар с центром в начале координат радиуса , а неравенство – «внутренность» кругового цилиндра с осью симметрии радиуса . Таким образом, искомое тело ограничено круговым цилиндром сбоку и симметричными относительно плоскости сферическими сегментами сверху и снизу.
Принимая за базовую единицу измерения, выполним чертёж:
Точнее, его следует назвать рисунком, поскольку пропорции по оси я выдержал не очень-то хорошо. Однако, справедливости ради, по условию вообще не требовалось ничего чертить и такой иллюстрации оказалось вполне достаточно.
Обратите внимание, что здесь не обязательно выяснять высоту, на которой цилиндр высекает из шара «шапки» – если взять в руки циркуль и наметить им окружность с центром в начале координат радиуса 2 см, то точки пересечения с цилиндром получатся сами собой.