Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Свойства параболоида вращения Смотреть что такое "Эллиптический параболоид" в других словарях
Высота параболоида может быть определена по формуле
Объем параболоида, касающегося дна равен половине объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н, такой же объем занимает пространство W’ под параболоидом (рис.4.5а)
Рис.4.5. Соотношение объемов в параболоиде, касающемся дна.
Wп- объем параболоида,W’ – объем под параболоидом, Hп – высота параболоида
Рис.4.6. Соотношение объемов в параболоиде, касающемся краев цилиндра Hп – высота параболоида., R – радиус сосуда, Wж–объем под высотой жидкости в сосуде до начала вращения, z 0 – положение вершины параболоида, Н - высота жидкости в сосуде до начала вращения.
На рис.4.6а уровень жидкости в цилиндре до начала вращения Н. Объем жидкости Wж до и после вращения сохраняется и равен сумме объема Wц цилиндра с высотой z 0 плюс объем жидкости под параболоидом, который равен объему параболоидаWп с высотой Нп
Если параболоид касается верхнего края цилиндра, высота жидкости в цилиндре до начала вращения Н делит высоту параболоида Нп на две равные части, нижняя точка (вершина) параболоида расположена по отношению к основанию(рис.4.6в)
Кроме того, высота Н делит параболоид на две части (рис.4.6в), объемы которых равны W 2 =W 1 . Из равенства объемов параболического кольца W 2 и параболической чашки W 1 , рис.4.6в
При пересечении поверхностью параболоида днища сосуда (рис.4.7) W 1 =W 2 =0,5W кольца
Рис.4.7 Объемы и высоты при пересечении поверхностью параболоида днища цилиндра
Высоты на рис.4.6
объемы на рис.4.6 .
Расположение свободной поверхности в сосуде
Рис.4.8. Три случая относительного покоя при вращении
1. Если сосуд открыт, Po=Ратм (рис.4.8а). Вершина параболоида при вращении опускается ниже начального уровня-Н, а края поднимаются над начальным уровнем, положение вершины
2. Если сосуд заполнен полностью, прикрыт крышкой, не имеет свободной поверхности, находится под избыточным давлением Ро>Ратм, до вращения поверхность (П.П.), на которой Ро=Ратм будет находиться над уровнем крышки на высоте h 0и =М/ρg , H 1 =Н+ М/ρg.
3. Если сосуд заполнен полностью, находится под вакуумом Ро<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,
4.7. Вращение с большой угловой скоростью (рис.4.9)
При вращении сосуда с жидкостью с большой угловой скоростью силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежными силами. Закон изменения давления в жидкости можно получить из формулы
(4.22),
Поверхности уровня образуют цилиндры с общей осью, вокруг которой вращается сосуд. Если сосуд перед началом вращения не полностью заполнен, давление Р 0 будет действовать по радиусу r = r 0 , вместо выражения (4.22) будем иметь
в котором принимаем g(z 0 - z) = 0,
Рис. 4.9 Расположение поверхностей вращения при отсутствии силы тяжести.
Радиус внутренней поверхности при известных H и h 
Эллиптический параболоид
Эллиптический параболоид при a=b=1
Эллипти́ческий параболо́ид - поверхность, описываемая функцией вида
,где a и b одного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх.
Если a = b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения , образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.
Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоид при a=b=1
Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») - седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида
.Из второго представления видно, что гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью .
Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной.
Параболоиды в мире
В технике
В искусстве
В литературе
Устройство, описанное в Гиперболоид инженера Гарина должно было быть параболоидом .
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Элон Менахем
- Элтанг
Смотреть что такое "Эллиптический параболоид" в других словарях:
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД Большой Энциклопедический словарь
эллиптический параболоид - один из двух типов параболоидов. * * * ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД, один из двух типов параболоидов (см. ПАРАБОЛОИДЫ) … Энциклопедический словарь
Эллиптический параболоид - один из двух видов параболоидов (См. Параболоиды) … Большая советская энциклопедия
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД - незамкнутая поверхность второго порядка. Канонич. уравнение Э. п. имеет вид Э. п. расположен по одну сторону от плоскости Оху (см. рис.). Сечения Э. п. плоскостями, параллельными плоскости Оху, являются эллипсами с равным эксцентриситетом (если р … Математическая энциклопедия
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД - один из двух типов параболоидов … Естествознание. Энциклопедический словарь
ПАРАБОЛОИД - (греч., от parabole парабола, и eidos сходство). Тело, образуемое вращающеюся параболой. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПАРАБОЛОИД геометрическое тело, образовавшееся от вращения параболы, так… … Словарь иностранных слов русского языка
ПАРАБОЛОИД - ПАРАБОЛОИД, параболоида, муж. (см. парабола) (мат.). Поверхность второго порядка, не имеющая центра. Параболоид вращения (образуется вращением параболы вокруг ее оси). Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Толковый словарь Ушакова … Толковый словарь Ушакова
ПАРАБОЛОИД - ПАРАБОЛОИД, поверхность, получаемая при движении параболы, вершина которой скользит по другой, неподвижной параболе (с осью симметрии, параллельной оси движущейся параболы), тогда как ее плоскость, смещаясь параллельно самой себе, остается… … Современная энциклопедия
Параболоид - ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка. Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах: если и одного… … Википедия
ПАРАБОЛОИД - незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка. Канонич. уравнения П.: эллиптический параболоид (при р = q называется П. вращения) и гиперболический параболоид. А. Б. Иванов … Математическая энциклопедия
Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид где а ^ b ^ с > 0. Для того, чтобы выяснить, как выглядит эллипсоид, поступим следующим образом. Возьмем на плоскости Oxz эллипс и будем вращать его вокруг оси Oz (рис. 46). Рис.46 Полученная поверхность Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка. - эллипсоид вращения - уже дает представление о том, как устроен эллипсоид общего вида. Чтобы получитьего уравнение, достаточ но равномсрносжать эллипсоид вращения.вдоль оси Оу с коэффициентом J ^ !,т.с. заменить в его уравнении у на Jt/5). 10.2. Гиперболоиды Вращая гиперболу fl i! = а2 с2 1 вокруг оси Oz (рис. 47), получим поверхность, называемую однополостным гиперболоидом вращения. Его уравнение имеет вид *2 + у; получается тем же способом, что и в случае эллипсоида вращения. 5) Эллипсоид врашения можно получить равномерным сжатием сферы +yJ + *J = л" вдоль оси Oz с коэффициентом ~ ^ 1. Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом 2 ^ 1 получим однополостный гиперболоид общего вида. Его уравнение Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка. получается тем же способом, что и в разобранном выше случае эллипсоида. Путем вращения вокруг оси Ог сопряженной гиперболы получим двуполостный гиперболоид вращения (рис. 48). Его уравнение а2 С2 Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом 2 ^ 1 приходим к двуполостному гиперболоиду общего вида. Заменой у на -у получаем его уравнение Врашая параболу вокруг оси Oz (рис.49), получаем параболоид вращения. Его уравнение имеет вид х2 + у2 = 2 pz. Путем сжатия параболоида врашения вдоль оси Оу с коэффициентом yj* ^ 1 получаем эллиптический параболоид. Его уравнение получается из уравнения параболоида врашения путем замены Если, то получаем параболоид вида, указанного на рис. 50. 10.4. Гиперболический параболоид Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид где р > 0, q > 0. Вид этой поверхности определим, применив так называемый метод сечений, который заключается в следующем: параллельно координатным плоскостям проводятся плоскости, пересекающие исследуемую поверхность, и по изменению конфигурации возникающих в результате плоских кривых делается вывод о структуре самой поверхности. Начнем с сечений плоскостями z = h = const, параллельными координатной плоскости Оху. При h > 0 получаем гиперболы при h - сопряженные гиперболы а при - пару псрссскаюшихся прямых Заметим, что эти прямые являются асимптотами для всех гипербол (т. е. при любом h Ф 0). Спроектируем получаемые кривые на плоскость Оху. Получим следующую картину (рис. 51). Уже это рассмотрение позволяет сделать заключение о седлообразном строении рассматриваемой поверхности (рис. 52). Рис.51 Рис.52 Рассмотрим теперь сечения плоскостями Заменяя в уравнении поверхности у на Л, получаем уравнения парабол (рис.53). Аналогичная картина возникает при рассечении заданной поверхности плоскостями В этом случае также получаются параболы ветви которых направлены вниз (а не вверх, как для сечения плоскостями у = h) (рис. 54). Замечание. Методом сечений можно разобраться в строении и всех ранее рассмотренных поверхностей второго порядка. Однако путем вращения кривых второго порядка н последующего равномерного сжатия к пониманию их структуры можно прийти проще и значительно быстрее. Оставшиеся поверхности второго порядка по существу уже рассмотрены ранее. Это цилиндры: эллиптинескии гиперболический Рис. 56 и параболический и конус второго порядка представление о котором можно получить либо путем вращения пары пересекающихся прямых вокруг оси Oz и последующего сжатия, либо методом сечений. Конечно, в обоих случаях получим, что исследуемая поверхность имеет вид, указанный на рис. 59. а) вычислите координаты фокусов; , . б) вычислите эксцентриситет; . в) напишите уравнения асимптот и директрис; г) напишите уравнение сопряженной гиперболы и вычислите ее эксцентриситет. 2. Составьте каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до вершины равно 3. 3. Напишите уравнение касательной к эллипсу ^ + = 1 вето точке М(4, 3). 4. Определите вид и расположение кривой, заданной уравнением: Ответы эллипс, большая ось параллельна Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка. оси Ох; б) гипербола центр О (-1,2), угловой коэффициент вешественной оси Х равен 3; в) парабола У2 = , вершина (3, 2), вектор оси, направленный в сторону вогнутости параболы, равен {-2, -1}; г) гипербола с центром, асимптоты параллельны осям координат; д) пара пересекающихся прямых е) пара параллельных прямых
К поверхностям 2-го порядка относится также гиперболический параболоид. Эта поверхность не может быть получена применением алгоритма использующего вращение некоторой линии относительно неподвижной оси.
Для построения гиперболического параболоида используется специальная модель. Эта модель включает в себя две параболы, располагающиеся в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
Пусть парабола I располагается в плоскости и неподвижна. Парабола II совершает сложное движение:
▫ её
начальное положение совпадает с
плоскостью
,
причём вершина параболы совпадает с
началом координат:
=(0,0,0);
▫ далее
эта парабола совершает движение
параллельный перенос, причём её вершина
совершает траекторию, совпадающую с
параболой I;
▫ рассматривается два различных начальных положения параболы II: один – ветви параболы вверх, второй – ветви вниз.
Запишем
уравнения: для первой параболы I:
– неизменно; для второй параболы II:
– начальное положение, уравнение
движения:
Нетрудно видеть, что точка
имеет координаты:
.
Так как необходимо отобразить закон
движения точки
:
эта точка принадлежит параболе I,
то должны постоянно выполняться
соотношения:
=
и
.
Из геометрических особенностей модели легко видеть, что подвижная парабола заметает некоторую поверхность. В таком случае уравнение поверхности, описываемой параболой II, имеет вид:
или→
. (1)
Форма
получаемой поверхности зависит от
распределения знаков параметров
.
Возможны два случая:
1). Знаки величин p и q совпадают: параболы I и II располагаются по одну сторону от плоскости OXY . Примем: p = a 2 и q = b 2 . Тогда получаем уравнение известной поверхности:
→
эллиптический
параболоид
. (2)
2). Знаки величин p и q различны: параболы I и II располагаются по разные стороны от плоскости OXY . Пусть p = a 2 и q = - b 2 . Теперь получаем уравнение поверхности:
→гиперболический
параболоид
. (3)
Представить геометрическую форму поверхности, определяемой уравнением (3) нетрудно, если вспомнить кинематическую модель взаимодействия двух парабол, участвующих в движении.
На рисунке красным цветом условно показана парабола I. Показана только окрестность поверхности у начала координат. Из-за того, что форма поверхности выразительно намекает на кавалерийское седло, окрестность эту часто называют – седло .
В физике, при исследованиях устойчивости процессов, вводят типы равновесия: устойчивое – лунка, выпуклостью вниз, неустойчивое – выпуклая вверх поверхность и промежуточное – седло. Равновесие третьего типа также относят к типу неустойчивого равновесия, причём только на красной линии (парабола I) возможно равновесие.
§ 4. Цилиндрические поверхности.
При рассмотрении поверхностей вращения мы определили простейший цилиндрическую поверхность – цилиндр вращения, то есть круговой цилиндр.
В элементарной геометрии цилиндр определён по аналогии с общим определением призмы. Оно достаточно сложное:
▫ пусть
имеем в пространстве плоский многоугольник
– обозначим как
,
и с ним совпадает многоугольник
– обозначим как
;
▫ применим
к многоугольнику
движение параллельный перенос: точки
перемещаются по траекториям, параллельным
заданному направлению
;
▫ если
остановить перенос многоугольника
,
то его плоскость
параллельна плоскости
;
▫ поверхностью
призмы называют: совокупность
многоугольников
,
– основания
призмы, а также параллелограммов
,
,...
– боковая
поверхность
призмы.
В
оспользуемся
элементарным определением призмы для
построения более общего определения
призмы и её поверхности, а именно, будем
различать:
▫ неограниченная
призма – это многогранное тело,
ограниченное рёбрами
,
,...
и плоскостями между этими рёбрами;
▫ ограниченная
призма – это многогранное тело,
ограниченное рёбрами
,
,...
и параллелограммами
,
,...;
боковая поверхность этой призмы –
совокупность параллелограммов
,
,...;
основания призмы – совокупность
многоугольников
,
.
Пусть
имеем неограниченную призму:
,
,...
Пересечём эту призму произвольной
плоскостью
.
Пересечём эту же призму другой плоскостью
.
В сечении получим многоугольник
.
В общем случае считаем, что плоскость
не параллельна плоскости
.
Это значит, призма построена не
параллельным переносом многоугольника
.
Предложенное построение призмы включает не только прямые и наклонные призмы, но и любые усечённые.
В
аналитической геометрии цилиндрические
поверхности будем понимать настолько
обобщённо, что неограниченный цилиндр
включает неограниченную призму как
частный случай: стоит лишь предположить,
что многоугольник можно заменять
произвольной линией, не обязательно
замкнутой – направляющая
цилиндра. Направление
называют образующей
цилиндра.
Из всего сказанного следует: для определения цилиндрической поверхности необходимо задать линию-направляющую и направление образующей.
Цилиндрические поверхности получают на основе плоских кривых 2-го порядка, служащих направляющими для образующих .
На начальном этапе изучения цилиндрических поверхностей примем упрощающие допущения:
▫ пусть направляющая цилиндрической поверхности всегда располагается в одной из координатных плоскостей;
▫ направление
образующей
совпадает с одной из осей координат, то
есть перпендикулярна плоскости, в
которой определена направляющая.
Принятые
ограничения не приводят к потере
общности, так как остаётся возможность
за счёт выбора сечений плоскостями
и
строить произвольные геометрические
фигуры: прямые, наклонные, усечённые
цилиндры.
Эллиптический цилиндр .
Пусть
в качестве направляющей цилиндра взяли
эллипс
:
,
расположенный в координатной плоскости
:
эллиптический цилиндр.
Гиперболический цилиндр .
:
,
а направление образующей определяет
ось
.
В этом случае уравнение цилиндра – это
сама линия
:
гиперболический цилиндр.
Параболический цилиндр .
Пусть
в качестве направляющей цилиндра взяли
гиперболу
:
,
расположенную в координатной плоскости
,
а направление образующей определяет
ось
.
В этом случае уравнение цилиндра – это
сама линия
:
параболический цилиндр.
Замечание : учитывая общие правила построения уравнений цилиндрических поверхностей, а также представленные частные примеры эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров, отметим: построение цилиндра для любой другой образующей, для принятых упрощающих условий, не должно вызвать никаких затруднений!
Рассмотрим теперь более общие условия построения уравнений цилиндрических поверхностей:
▫ направляющая
цилиндрической поверхности располагается
в произвольной плоскости пространства
;
▫ направление
образующей
в принятой системе координат произвольно.
Принятые условия изобразим на рисунке.
▫ направляющая
цилиндрической поверхности
располагается в произвольной плоскости
пространства
;
▫ система
координат
получена из системы координат
параллельным переносом;
▫ расположение
направляющей
в плоскости
наиболее предпочтительное: для кривой
2-го порядка будем считать, что начало
координат
совпадает с центром
симметрии рассматриваемой кривой;
▫ направление
образующей
произвольное (может быть задано любым
из способов: вектором, прямой и др.).
В
дальнейшем будем считать, что системы
координат
и
совпадают. Это означает, что 1-й шаг
общего алгоритма построения цилиндрических
поверхностей, отражающий параллельный
перенос:
→
,
предварительно выполнен.
Напомним, как учитывается параллельный перенос в общем случае, рассмотрев простой пример.
Пример 6
–13
:
В системе координат
в виде:
=0.
Записать уравнение этой направляющей
в системе
.
Решение :
1).
Обозначим произвольную точку
:
в системе
как
,
и в системе
как
.
2). Запишем
векторное равенство:
=
+
.
В координатной форме это можно записать
в виде:
=
+
.
Или в виде:
=
–
,
или:
=.
3). Запишем
уравнение направляющей цилиндра
в системе координат
:
Ответ: преобразованное уравнение направляющей: =0.
Итак,
будем считать, что центр кривой,
представляющей направляющую цилиндра,
всегда располагается в начале координат
системы
в плоскости
.
Рис. В . Базовый рисунок при построении цилиндра.
Сделаем
ещё одно допущение, упрощающее
заключительные шаги построения
цилиндрической поверхности. Так как
применением вращения системы координат
нетрудно совместить направление оси
системы координат
с нормалью плоскости
,
а направления осей
и
с осями симметрии направляющей
,
то будем считать, что в качестве исходного
положения направляющей
имеем кривую, расположенную в плоскости
,
причём одна её ось симметрии совпадает
с осью
,
а вторая с осью
.
Замечание : так как выполнение операций параллельный перенос и вращение вокруг неподвижной оси операции достаточно простые, то принятые допущения не сужают применимость разрабатываемого алгоритма построения цилиндрической поверхности в самом общем случае!
Мы
видели, что при построении цилиндрической
поверхности в случае, когда направляющая
располагается в плоскости
,
а образующая параллельна оси
,
достаточно определить только направляющую
.
Так как цилиндрическая поверхность может быть однозначно определена заданием любой линии, получаемой в сечении этой поверхности произвольной плоскостью, то примем такой общий алгоритм решения задачи:
1
▫
.
Пусть направление образующей
цилиндрической поверхности задано
вектором
.
Спроектируем направляющую
,
заданную уравнением:
=0,
на плоскость, перпендикулярную направлению
образующей
,
то есть на плоскость
.
В результате цилиндрическая поверхность
будет задана в системе координат
уравнением:
=0.
2
▫
вокруг оси
на угол
:
смысл угла
совместится с системой
,
а уравнение конической поверхности
преобразуется в уравнение:
=0.
3
▫
.
Применим вращение системы координат
вокруг оси
на угол
:
смысл угла
вполне понятен из рисунка. В результате
вращения система координат
совместится с системой
,
а уравнение конической поверхности
преобразуется в
=0.
Это и есть уравнение цилиндрической
поверхности, у которой были заданы
направляющая
и образующая
в системе координат
.
Представленный ниже пример иллюстрирует реализацию записанного алгоритма и вычислительные трудности подобных задач.
Пример 6
–14
:
В системе координат
задано уравнение направляющей цилиндра
в виде:
=9.
Составить уравнение цилиндра, образующие
которого параллельны вектору
=(2,–3,4).
Р
ешение
:
1).
Спроектируем направляющую цилиндра на
плоскость, перпендикулярную
.
Известно, что такое преобразование
заданную окружность превращает в эллипс,
осями которого будут: большая
=9,
а малая
=
.
Этот
рисунок иллюстрирует проектирование
окружности, заданной в плоскости
на координатную плоскость
.
2).
Результатом проектирования окружности
является эллипс:
=1,
или
.
В нашем случае это:
,
где
=
=
.
3
).
Итак, уравнение цилиндрической поверхности
в системе координат
получено. Так как по условию задачи мы
должны иметь уравнение этого цилиндра
в системе координат
,
то остаётся применить преобразование
координат, переводящее систему координат
в систему координат
,
заодно и уравнение цилиндра:
в уравнение, выраженное через переменные
.
4). Воспользуемся базовым рисунком, и запишем все необходимые для решения задачи тригонометрические значения:
=
=
,
=
=
,
=
=
.
5). Запишем
формулы преобразования координат при
переходе от системы
к системе
:
(В)
6). Запишем
формулы преобразования координат при
переходе от системы
к системе
:
(С)
7).
Подставляя переменные
из системы (В) в систему (С), а также
учитывая значения используемых
тригонометрических функций, запишем:
=
=
.
=
=
.
8).
Остаётся подставить найденные значения
и
в уравнение направляющей цилиндра
:
в системе координат
.
Выполнив аккуратно
все алгебраические преобразования,
получаем уравнение конической поверхности
в системе координат
:
=0.
Ответ: уравнение конуса: =0.
Пример 6
–15
:
В системе координат
задано уравнение направляющей цилиндра
в виде:
=9,
=1.
Составить уравнение цилиндра, образующие
которого параллельны вектору
=(2,–3,4).
Решение :
1). Нетрудно заметить, этот пример отличается от предыдущего только тем, что направляющую параллельно перенесли на 1 вверх.
2). Это
значит, что в соотношениях (В) следует
принять:
=
–1.
Учитывая выражения системы (С),
скорректируем запись для переменной
:
=
.
3). Изменение легко учитывается коррекцией конечной записи уравнения для цилиндра из предыдущего примера:
Ответ: уравнение конуса: =0.
Замечание : нетрудно заметить, что основная трудность при многократных преобразованиях систем координат в задачах с цилиндрическими поверхностями – этоаккуратность ивыносливость в алгебраических марафонах: да здравствует система образования, принятая в нашей многострадальной стране!
